علم ریاضیات

ر                                                                   ریاضیات عموما مطالعه الگوی ساختار، تحول، و فضا تعریف شده است؛ بصورت غیر رسمی تر، ممکن است بگویند مطالعهاعداد و اشکال است.تعریف ریاضیات بر حسب وسعت دامنة آن و نیز بسط دامنة فکر ریاضی تغییر کرده است.
ریاضیات زبانی خاص خود دارد،که در آن به جای کلمات و علائم نقطه گذاری از اعداد و نمادها استفاده میشود. در منظر صاحبان فکر، تحقیق بدیهیات ساختارهای مجرد تعریف شده، با استفاده از منطق و نماد سازی ریاضی میباشد.
نخستین اعداد ثبت شده خطوطی بودند که روی یک چوب کشیده میشدند،که اصطلاحا آنها را چوبخط مینامیدند.این خطوط به شکل دسته های کوچک دو یا پنج تایی کشیده میشدند.سرانجام به این دسته ها نمادهای خاصی اختصاص داده شد(5،2 و غیره)و یک دستگاه حساب ایجاد شد.
ریاضیدانان نمادهای خاصی را به جای کلماتی از قبیل به اضافه و مساوی است با وضع کردند،همچنین کلمات خاصی را برای بیان مفاهیم جدید ابداع کردند.
چنانکه زمانی آن ار علم عدد ، زمانی علم فضا ، گاه علم کمیات ، و زمانی علم مقادیر متصل و منفصل خوانده اند.ریاضیات درباره حساب ، هندسه ، جبر و مقابله بحث می کند که ما در اینجا به سراغ تاریخ هر یک از آنها می رویم.
ساختارهای بخصوصی که در ریاضیات مورد تحقیق و بررسی قرار میگیرند اغلب در علوم طبیعی منشاء دارند، و بسیار عمومی در فیزیک، ولی ریاضیات ساختارهای دلایلی را نیز بررسی می نماید که بصورت خالص در مورد باطن ریاضی است، زیرا ریاضیات می توانند برای مثال، یک عمومیت متحد شده را برای زیر-میدانهای متعدد، یا ابزارهای مفید را برای محاسبات عمومی، فراهم نماید. در نهایت، ریاضیدانان بسیاری در مورد مطالبی که مطالعه می نمایند که منحصرا دلایل علمی محض داشته، ریاضیات را بصورت هنری برای پروراندن علم، صرف نظر از تجربی یا کاربردی، می نگرند.
حساب ، علم اعداد است. واژه انگلیسی حساب ، از کلمه ای یونانی به معنای اعداد گرفته شده است.
در آغاز شهرنشینی ، انسان گوسفندان ، گاوها و سایر حیوانات خود را با انگشتانش می شمرد. در واقع کلمة دیژیت که برای شمارش اعداد از 0 تا 9 به کار می رود، از یک کلمة لاتین به معنای انگشت گرفته شده است.
بعدها انسان با علامت زدن روی چوب یا درخت ، اشیاء را می شمرد. اما این روش به زودی جای خود را به استفاده از علامتهایی باری هر یک از اعداد داد.
هندسه مطالعه انواع مختلف اشکال و خصوصیات آنهاست. همچنین مطالعه ارتباط میان اشکال ، زوایا و فواصـل است.

ریاضیدانان

• آ-ا                                                                                                                              
• ب
• پ
• ت
• ج
• چ
• خ
• د
• ر
• ز
• س
• ف
• ک
• گ
• ل
• م
• ن
• و
• ه

آ-ا

• نیلز هنریک آبل
• جیمز الکساندر
• کنت اپل
• ارشمیدس
• مایکل آتیا
• ارسطو
• امیل آرتین

---

ب

• چارلز بابیج
• رنه بیر
• استفان باناخ
• ژاکوب برنولی
• یوهان برنولی
• فردریش بسل
• انریکو بتی
• بهاسکارا
• ابوریحان بیرونی
• جرج بول
• محمد ابوالوفا بوزجانی
• ویلیام برنساید

---

پ

• مارک آنتونی پارسوال
• بلز پاسکال
• جوزف پئانو
• راجر پن‌روز
• هانری پوانکاره
• جورج پولیا
• ویکتور پونسله
• رابرت پریم

---

ت

• یوتاکا تانی‌یاما
• آلفرد تارسکی
• تالس
• رنه توم

---

ج

• ابو سعید جرجانی

---

چ

• آلونسو چرچ
• چبیشف

---

خ

• خوارزمی
• عمر خیام
• الکساندر خینچین

---

د

• آگوست دمورگان
• ریچارد ددکیند
• جین دالامبر
• رنه دکارت
• جرارد دزارگ
• ژان دیودونه
• ادگار دایسترا
• گابریل دیراک
• دیوفانتوس
• یوهان دیریکله

---

ر

• راماناجوان
• فرانک رمزی
• کورت راید مایستر
• برنارد ریمان
• استفان اسمیل

---

ز

• اسکار زاریسکی
• افیم زلمانوف
• ارنست زرملو

---

س

• ژان پیر سر
• سرپینسکی
• ایزادور سینگر
• پیتر سیلو

---

ف

• گرد فالتینگز
• پیر فرما
• فیبوناچی
• فوریه
• گوتلاب فرگه
• فردیناند جرج فروبنیوس

---

ک

• جورج کانتور
• کنستانتین کاراتئودوری
• هانری کارتان
• آگوستین لویی کوشی
• آرتور کیلی
• پل کوهن
• الن کونز
• ریچارد کورانت
• ایروینگ کاپلانسکی
• ابوبکر کرجی
• غیاث‌الدین جمشید کاشانی
• فلیکس کلاین
• دانلد کنوث
• آندری کولوموگروف
• لئوپولد کرونکر

---

گ

• الکساندر گروتندیک
• گالیله
• اواریسیت گالوا
• کارل فریدریش گاوس
• کورت گودل

---

ل

• جوزف لویی لاگرانژ
• سرژ لانگ
• پیر سیمون لاپلاس
• پیتر لکس
• هنری لبگ
• آدریان ماری لژاندر
• لایب‌نیتز
• جان لیتل وود
• نیکلای ایوانوویچ لباچفسکی
• جان لوکاسویچ

---

م

• آندری مارکوف
• یوری ماتیاسویچ
• جیمز کلارک ماکسول
• مارتین مرسن
• جان میلنر
• هرمان مینکوفسکی
• آگوست فردیناند موبیوس
• دیوید مامفرد
• بنوت مندلبورت

---

ن

• جان نپر
• جان نش
• جان فون نویمان
• ایوان نیون
• امی نوتر

---

و

• کارل وایرشتراس
• بارتل لیندرت ون در واردن
• آندره ویل
• اندرو وایلز
• جان ون

---

ه

• گادفری هارولد هاردی
• ویلیام همیلتون
• دیوید هیلبرت
• فردریش هیرتسبروخ

نقش اروپا در پیشرفت ریاضیات

یکی از ریاضیدانان قرن سیزدهم میلادی در اروپا لئونارد بوناکسی( 1170-1220 م. ) ریاضیدان ایتالیایی است. وی که مدتها در مشرق زمین اقامت کرده بود، آثار برخی از دانشمندان اسلامی را از آنجا به ارمغان آورد. وی برای اولین بار در اروپا علم جبر را در هندسه مورد استفاده قرار داد. در قرن پانزدهم و در قرن شانزدهم دانشمندان ایتالیایی ها در حساب عدد ، جبر و مکانیک ترقیات شایان کردند.
در اواخر قرن شانزدهم در فرانسه دانشمندی به نام فرانسوااویت ( 1540-1603م.) به پیشرفت علوم ریاضی خدمات ارزنده ای نمود.مثلثات جدید نیز حاصل زحمات اوست. او نخستین ریاضیدانی بود که برای حل مسئله ترسیم دایره ای مماس بر سه دایره دیگر راه حل هندسی بدست آورد و ریشه های معادله درجه چهارم را ساخت.
ریاضیـدانان کشـور هلنـد نیز در پیشـرفت و رشد دانش ریاضی بسیـار مؤثر بودند.آدرین رومن و سپس آدرین متیوس مقدار تقریبی عدد پی را محاسبه کردند و یکی دیگر از هموطنان آنان به نام وان سولن تا 35 رقم اعشاری آن را بدست آورد.
کشف لگاریتم یکی از پیشرفتهای بسیار مهم در تاریخ علم ریاضیات است. کاشف آن جان نپر یا ناپیه ( 1556-1317 م. ) ریاضیدان معروف اسکاتلندی است. یکی از آثار او کتاب معروف لگاریتمی است که در سال 1614 م. تألیف کرد.
نپر نخستین دانشمندی بود که محاسبه اعشار را جانشین محاسبات کسری معمولی نمود.عصای نپر ،اسبابی بوده که برای تسهیل اعمال ریاضی که عمل ضرب را جانشین جمع و عمل تقسیم را جانشین تفریق ساخته است. نظیر خط کش محاسبه که امروزه مورد استفاده مهندسین است.
یکی دیگر از نوابغ علم ریاضی در قرن هفدهم بلز پاسکال( 1623-1662 م. ) است که در پیشرفت حساب دیفرانسیل بسیار مؤثر بود،وی در 18 سالگی ماشین محاسبه را اختراع کرد.
باید به کوششهای کپرنیک، کپلر،تیکوبراهه و گالیله و نقش آنان در رشد علم ریاضی نیز اشاره ای کنیم.قرن هفدهم میلادی شاهد ریاضیدانان بزرگی نظیر رنه دکارت ( 1596-1650م. ) فیلسوف و ریاضیدان فرانسوی بود.پیردوفرما ( 1601-1665م. ) ریاضیدان فرانسوی نیز در تحول علم ریاضی در قرن هفدهم بسیار مؤثر بود. وی ظاهراً پیش از دکارت اصول هندسه تحلیلی را اختراع کرد.
وی را مؤسس نظریه مدرن اعداد ( حساب عالی ) و نظریه احتمالات می دانند.در سال 1781 در کشور فرانسه سیمون دنیس پواسون (1781-1840م.) تولد یافت که از ریاضیدانان بزرگ قرن هیجدهم است.
او در سال 1801 آنچنان در ریاضی پیشرفت کرد که به عنوان استاد تجزیه و تحلیل ریاضیات در دانشگاه پاریس برگزیده شد.وی مقالاتی مربوط به مکانیک (1811م. )، یادداشتهایی راجع به تئوری امواج (1826م. )، تئوری ریاضیات در رابطه با حرارت (1835م. ) و تئوری محاسبه احتمالات ( 1838م.) را منتشر ساخت.
لوئی پوانو(1777-1859م.) نیز از ریاضیدانان برجسته قرن نوزدهم است.در نیمـة قـرن نوزدهـم کشـف جورج گرین (1793-1841م. ) ریاضیــدان انگلیسی و شارل فردریک کائوس یا گاوس (1777-1855م.) ریاضیدان آلمانی توجة بسیاری از دانشمندان را جلب کرد.
یکی دیگر از ریاضیدانان بزرگ در قرن نوزدهم اوگوستن لوئی کوشی(1789-1857م.) فرانسوی است که در همه رشته های ریاضیات محض و کاربردی اکتشافاتی داشت، ولی خدمت بزرگ وی آن بود که آنالیز ریاضی را بر مبانی محکم استوار ساخت.کوشی ریاضیات – مخصوصاً آنالیز- را نسبت به قرن هیجدهم سخت دگرگون ساخت.
ویلیام راون هامیلتون (1805-1865م. ) ایرلندی بدون تردید یکی از نوابغ قرن نوزدهم بود.نبوغ و استعداد شگفت او از دوران کودکی اش معلوم شد. او حتی در 5 سالگی متون لاتینی و یونانی و عبری را می خواند و ایتالیایی و فرانسوی را در 8 سالگی و عربی و سانسکریت را در 10 سالگی آموخت و در 14 سالگی برای سفیر ایران خطابه خوشامدی به زبان فارسی تهیه کرد.
این استعداد بی مانند به زودی متوجة علوم گردید، بطوری که در 17 سالگی تمام حساب انتگرال را به خوبی می دانست و خسوف و کسوف را به خوبی پیش بینی می کرد و در 22 سالگی استاد نجوم گردید.
تاریخ ریاضیات گذشته از وقایع شیرین ، وقایع مصیبت بار را نیز ثبت کرده است. داستان گم شدن کشف بزرگ نیل هنریک آبل (1802-1829م.) ریاضیدان جوان و نابغه نروژی یکی از آنهاست. آپل که از نبوغی شگفت انگیز برخوردار بود در 22 سالگی ثابت نمود که صرف نظر از معادلات درجه اول تا درجه چهارم، هیچ دستور جبری که بتواند معادله درجه پنجم را به نتیجه برساند وجود ندارد .
آبل مقاله ای درباره خاصیت عمومی طبقه بسیار وسیعی از توابع غیر جبری انتشار داد.
آبل در این مقاله با ذکر کامل تمام فرمولها که پس از رنج بسیار فراهم کرده بود انتگرالهای بیضوی معروف به انتگرالهای لژاندر را مورد مطالعه قرار داده و مطالب جدیدی را کشف کرده بود که به راستی ارزش بسیار داشت. آبل کشف ذیقیمت خود را به کوشی سپرد، اما کوشی آن را گم کرد.

زاویه

زاویه:

تعریف:

از دوران یک نیم خط حول راسش یک ناحیه ای بوجود می آید که به آن زاویه می گویند. این دوران می توان در جهت عقربه های ساعت یا در جهت خلاف آن باشد ولی در مثلثات جهت دوران برای ایجاد یک زاویه جهت پادساعتگرد است و چنین زاویه ای را زاویه مثلثاتی می گویند. اگر نیم خطی را حول راسش چنان دوران دهیم که دوباره به نقطه شروع دوران بازگردد یک زاویه کامل یا تمام صفحه بوجود می اید. پس یک دایره خود یک زاویه کامل(دوران کامل) است. همچنین اگر نیم خط را چنان دوران دهیم که یک مسیر یک نیم رایره به مرکز راسش راطی کند یک زاویه نیم صفحه بوجود می آید. زاویه را با نام بردن راس یا نام بردن راس و دو ضلعش می خوانند.

• لازم به ذکر است زاویه ها را با وسیله ای به نام نقاله اندازه گیری می کنند که بر حسب درجه مقیاس بندی شده اند.

واحد های اندازه گیری زاویه:
واحد های اصلی برای اندازه گیری زاویه عبارتند از: درجه، گراد و رادیان که در اینجا به تعریف و توضیح آنها می پردازیم:

• درجه:

اگر محیط یک دایره دلخواه را به 360 قسمت مساوی تقسیم کنیم هر قسمت را یک درجه می نامند. به عبارت دیگر یک درجه یک سیصد و شستم محیط یک دایره است.

برای نمایش درجه از علامت استفاده می شود. لذا می توان گفت:

پس به این ترتیب در این مقیاس، زاویه تمام صفحه که یک دور کامل است برابر 360 درجه و زاویه نیم صفحه برابر 180 درجه است.

• استفاده از واحد درجه(degree) برای اندازه گیری زاویه به بابلی ها منسوب است که با دستگاه اعداد در مبنای 60 کار می کردند. همچنین 360 درجه احتمالا از تعداد روزهای سال بابلی ها نشات گرفته است سالی که دارای 12 ماه 30روزه است.

اجزای درجه:
همان گونه که می دانید معمولا هر واحد دارای اجزایی می باشد. درجه نیز به عنوان یک واحد اندازه گیری دارای اجزایی می باشد که عبارتند از دقیقه و ثانیه.(این اجزا گاهی آرک دقیقه:Arc minute و آرک ثانیه:Arc second نیز گفته میشوند)
هر دقیقه برابر است با یک شصتم درجه.

هر ثانیه برابر یک شصتم دقیقه یا یک سه هزار و شسصدم درجه.

به عنوان مثال اگر اندازه زاویه ای 37 درجه و 30 دقیقه و 15 ثانیه باشد می نویسیم:

---

• گراد

اگر محیط یک دایره را به 400 قسمت مساوی تقسیم کنیم هر قسمت را یک گراد می گویند. به عبارت دیگر یک چهارصدم دوران کامل، زاویه ای به اندازه یک گراد پدید می آورد.گراد گاهی گون نیز گفته می شود. برای نمایش گراد از نماد «gr» استفاده می شود. لذا می توان گفت:

پس به این ترتیب در این مقیاس اندازه زاویه تمام صفحه یا یک دور کامل 400 گراد و اندازه زاویه نیم صفحه برابر 200 گراد خواهد بود.

اجزای گراد:
اجزای گراد عبارتند از دسی گراد(dgr) ، سانتی گراد(cgr)، میلی گراد(mgr) که هر کدام به ترتیب یک دهم گراد، یک صدم گراد و یک هزارم گراد می باشند.

به عنوان مثال اگر اندازه زاویه ای 37 گراد و 2 دسی گراد و 8 میلی گرا باشد می نویسیم:
استفاده از این واحد برای زاویه در ریاضیات بسیار کم است.

---

• رادیان

دایره ای به شعاع L را در نظر بگیرید. می دانیم محیط این دایره است. یک رادیان اندازه زاویه مرکزی مقابل به کمانی از دایره است که طول کمان روبرو به آن برابر شعاع دایره است.

برای نمایش رادیان از نماد«rad» استفاده می کنیم. بنابراین محیط هر دایره برحسب رادیان رادیان است و زاویه نیم صفحه برابر رادیان است. و لذا:
که در آن P محیط دایره است.
با استفاده از تعریف رادیان می توان نتیجه گرفت که اگر طول کمان روبرو به زاویه برابر s و شعاع دایره r باشد آنگاه اندازه زاویه تتا بر حسب رادیان را می توان با یک تناسب ساده چنین محاسبه کرد:

به عنوان مثال می خواهیم بدانیم اندازه زاویه مرکزی مقابل به کمانی از دایره که طول آن کمان محیط دایره است چند رادیان است؟
روش حل بدون استفاده از فرمول(اساس یافتن فرمول فوق) به این صورت است: r=طول شعاع
اگر طول کمان برابر باشد آنگاه اندازه زاویه برابر است با رادیان حال اگر
طول کمان برابر باشد اندازه زاویه چقدر می شود؟

• لازم به توضیح است که پر کاربرد ترین واحد اندازه گیری زاویه رادیان است که بویژه در مثلثات، حساب، فیزیک کاربرد فراوان دارد.

---

تبدیل واحد های اندازه گیری زاویه به یکدیگر:
دایره ای به شعاع r و زاویه را در دایره در نظر بگیرید:

فرض کنید اندازه زاویه برحسب درجه D، برحسب گراد G و برحسب رادیان R باشد. با استفاده از تناسب داریم:
1-

طول کمان	اندازه زاویه برحسب درجه
	360
	D

2-

طول کمان	اندازه کمان برحسب گراد
	400
	G

3--__

طول کمان	اندازه زاویه برحسب رادیان
	R

از تساوی های فوق رابطه زیر نتیجه می شود:

به عنوان مثال اگر اندازه زاویه ای برابر 20 گراد باشد اندازه این زاویه بر حسب درجه و رادیان به این صورت محاسبه میشود:

• هر رادیان تقریبا برابر است با 57.3 درجه است.

---

انواع زاویه ها:
زاویه ها را با توجه به مقدارشان به این صورت طبقه بندی می کنند:

• زاویه تند:(acute angle) زاویه را تند یا حاده میگوییم هرگاه اندازه اش کمتر از 90 در جه باشد. به عبارت دیگر:
• زاویه راست:(right angle) زاویه را راست یا قائم میگوییم هرگاه اندازه آن برابر 90 در جه باشد. به عبارت دیگر:
• زاویه باز:(obtuse angle) زاویه را باز یا منفرجه می گوییم هرگاه بزرگتر از 90 درجه و کمتر از 180 درجه باشد. به عبارت دیگر:
  
• زاویه نیم صفحه:(straight angle) زاویه را نیم صفحه میگوییم هرگاه برابر 180 درجه باشد. به عبارت دیگر:
• زاویه بازتاب:(reflex angle) زاویه را زاویه بازتاب میگوییم هرگاه بزرگتر از 180 درجه و کمتر از 360 درجه باشد. به عبارت دیگر:
  
• زاویه کامل:(full angle) زاویه را کامل یا تمام صفحه می گوییم هرگاه برابر 360 درجه باشد. به عبارت دیگر:.

مثلث

مثلث ار اساسی ترین اشکال در هندسه میباشد.یک مثلث دارای سه راس است که سه ضلع این رئوس را به هم وصل میکند.در هندسه اقلیدسی این اضلاع خطوطی مستقیم هستند. ولی در هندسه کروی این اضلاع کمان هایی از دایره عظیمه میباشند.این دو نوع مثلث را میتوانید در شکلهای روبرو مشاهده نمایید.

انواع مثلث

• مثلث متساوی الاضلاع: مثلثی است که دارای سه ضلع با طولهای مساوی است و زوایای داخلی این مثلث نیز با هم برابرند.
• مثلث متساوی الساقین: مثلثی است که دارای دو ضلع با طولهای مساوی استو دو زاویه داخلی برابر دارد.

البته مثلث میتواند دارای سه ضلع با طولهای مختلف و زوایای غیر مساوی باشد.

• مثلث قائم الزاویه: مثلثی را گویند که یکی از زوایای آن 90درجه باشد.نسبت های مثلثاتی مانند sin و cos ،بر روی مثلث قائم الزاویه تعریف میشوند.
• مثلث منفرجه: مثلثی را گویند که یکی از زوایای داخلی آن بیشتر از 90 درجه باشد.
• مثلث حاده : مثلثی را گویند که تمام زوایای داخلی آن کمتر از 90 درجه باشد.

300 سال قبل از میلاد اقلیدس ،اصول اولیه درباره مثلث را ارائه داد.به عنوان مثال یکی از اصول مهم در مورد مثلث این است که مجموع زوایای داخلی یک مثلث برابر 180 درجه است. بر اساس این اصل میتوان با معلوم بودن دو زاویه از مثلث اندازه زاویه سوم را بدست آورد.
یکی از مهمترین قضایای موجود در مثلثات قضیه فیثاغورث میباشد.در این قضیه رابطه بین وتر و اضلاع قائم یک مثلث قائم الزاویه بیان میشود.

محاسبه مساحت مثلث

برای محاسبه مساحت یک مثلث روشهای مختلفی وجود داردو در ادامه به توضیح این روشها میپردازیم

روش هندسی

برای محاسبه مساحت یک مثلث باید طول ارتفاع مثلث و نیز طول قاعده(ضلعی که ارتفاع بر آن عمود است) آن را داشته باشیم.آنگاه میتوانیم از فرمول زیر استفاده کنیم:

در این فرمول b طول قاعده و h طول ارتفاع مثلث میباشد. در شکل زیر نحوه بدست آمدن این فرمول بیان شده است:

تبدیل مثلث به یک متوازی الاضلاع که دو برابر مثلث مساحت دارد وسپس تبدیل متوازی الضلاع به یک مستطیل

برای پیدا کردن مساحت مثلث (قسمت سبز) ابتدا یک کپی از مثلث (قسمت آبی) را برداشته و آن را 180 درجه میچرخانیم و به مثلث اولیه متصل میکنیم تا یک متوازی الاضلاع بدست آید. با بریدن قسمتی از متوازی الاضلاع و متصل کردن آن به ضلع دیگر آن(همانند شکل) یک مستطیل ایجاد میشود. چون مساحت مستطیل برابر bh است .پس مساحت مثلث اولیه، نصف این مساحت خواهد بود.

---

روش برداری

محاسبه مساحت متوازی الاضلاع با استفاده
از ضرب خارجی دو بردار

مساحت یک متوازی الاضلاع را میتوان با استفاده از بردارها محاسبه کرد.اگر AB,AC را مطابق شکل فرض کنیم آنگاه مساحت ABCD برابر |AB × AC| خواهد بود.این مفدار ،اندازه ضرب خارجی دو بردار AB و AC میباشد.پس مساحت مثلث ABC برابر با نصف اندازه ضرب خارجی دو بردار AB و AC خواهد شد.

روش مثلثاتی

استفاده از مثلثات
برای پیدا کردن ارتفاع مثلث

ارتفاع یک مثلث را میتوان با استفاده از روابط مثلثاتی بدست آورد.به عنوان مثال در شکل روبرو ارتفاع مثلث از فرمول محاسبه میشود.اگر این فرمول را درفرمول جایگذاری کنیم فرمول بدست می آید:

روش مختصاتی

فرض میکنیم نقطه A به مختصات (0, 0)یک راس از مثلث باشد و نقاط B به مختصات(x₁, y₁) و C به مختصات(x₂, y₂) دو راس دیگر مثلث باشند.در این صورت مساحت مثلث نصف مقدار|x₁y₂ − x₂y₁| خواهد شد.

فرمول heron

راه دیگر محاسبه مساحت مثلث استفاده از فرمول heron است. این فرمول به صورت زیر است:

مستطیل

در هندسه، مستطیل، یک جهارضلعی با زوایای قائم است.

• در یک مستطیل اضلاع روبرو دارای طول‌های مساوی هستند.
• یک مربع نوع خاصی از مستطیل است که دارای چهار ضلع مساوی می‌باشد.
• یک مربع ،می‌تواند هم یک مستطیل و هم یک متوازی الاضلاع باشد. ولی عکس این مطلب برقرار نیست.
• برای رسم یک مستطیل باید یا طول دو ضلع آن و یا یک ضلع با یک قطر آنرا داشته باشیم.
• در یک مستطیل یک جفت از اضلاع را که طویل ترند را طول مستطیل و جفت دیگر اضلاع را که کوتاهترند را عرض مستطیل نامند.
• مساحت یک مستطیل برابر از ضرب اندازه طول مستطیل در عرض آن حاصل می‌شود.
• هر مستطیل دارای دو قطر است که اندازه این قطرها از فرمول زیر محاسبه می‌شود:(a طول مستطیل وb عرض آن است)

---

ویژگی ها

• مستطیل دارای دو محور تقارن گذرنده از نقاط وسط اضلاع مقابل است.
• قطر ها، مستطیل را به دو جفت مثلث همنهشت تقسیم می‌کنند.
• در هر مستطیل نقطه تقاطع قطرها مرکز تقارن است.همچنین قطرهای یک مستطیل هم طول هستند.
• در هر مستطیل قطرها یکدیگر را نصف میکنند. زوایای داخلی مجاور مکمل و زوایای داخلی مقابل برابرند.

---

چند ضلعی

مثلث، مربع، و پنج ضلعی نمونه ای از چند ضلعی ها هستند. در یک چند ضلعی منتظم، ضلعها طول مساوی دارند و اندازه زوایای داخلی نیز مساوی است.هر قدر تعداد اضلاع یک چند ضلعی منتظم بیشتر باشد، بیشتر شبیه دایره خواهد بود. دو نوع چند ضلعی وجود دارد: کوژ و کاو.
در چند ضلعی کوژ همه گوشه ها رو به بیرونند.در چند ضلعی کاو یک یا چند گوشه رو به داخلند.

مکان هندسی

مکان هندسی مجموعه نقطه هایی از صفحه یا فضا است که داراس ویژگی مشترکی باشند. به عبارت دیگر هر نقطه در این مجموعه دارای این ویژگی است و هر نقطه که این ویژگی را داشته باشد عضوی از این مجموعه است.
به این ترتیب با تعریف این مفهوم میتوان تعاریف را ساده تر بیان نمود.
به عنوان مثال می توان دایره را چنین تعریف کرد:
مکان هندسی نقاطی از صفحه که از یک نقطه ثابت به نام مرکز به یک فاصله میباشند دایره می گوییم. در این تعریف مشاهدی می شود هر نقطه عضو این مکان هندسی از یک نقطه ثابت(مرکز دایره) به یک فاصله معین است . هر نقطه که از این نقطه ثابت به فاصله معین گفته شده باشد عضو این مکان هندسی است.
فایده دیگر این نوع تعریفات این است که با استفاده از آنها می توان به سادگی برای اشکال هندسی معادله نوشت.
به عنوان مثال با توجه به تعریف دایره می توان معادله آن را چنین نوشت:
که در آن a طول و b عرض مزکز دایره است و R شعاع دایره است.

---

برای مشخص کردن مکان هندسی می توان به این صورت عمل کرد:
1- به اندازه کافی نقطه هاای را که در ویژگی داده شده صدق می کنند پیدا کنید.
2- آن نقطه ها را به همدیگر وصل کنید تا تصریری شهودی از مکان هندسی مورد نظر بیابید.
3- مکان هندسی را توصیف کنید. سپس بررسی کنید که آیا هر نقطه در مجموعه نقطه هایی که یا فته اید در ویژگی داده شده صدق می کند و بلعکس، آیا هر نقطه که در این ویژگی صدق می کند در مجموعه ای که یا فت کرده اید قرار دارد یا نه؟

منشور

دید کلی

• آیا تا به حال به چگونگی تشکیل رنگین کمان فکر کرده‌اید؟
• طیف رنگی نور تابشی بر بلورها از جمله ساده‌ترینش خودکار شیشه‌ای یا پلاستیک شفاف را دیده‌اید؟
• هاله رنگی دور لامپ الکتریکی را در هوای مه آلود مشاهده نموده‌اید؟
• لایه‌های رنگی موجود در سطح مایعات مخلوط از جمله نفت و آب و ... فهمیده اید و ماهیت فیزیکی اینها را لمس کرده اید؟
  
  در طبیعت از این پدیده‌ها بسیار است و همه آنها ماهیت نوری تقریبا واحدی دارند.

ماهیت منشور

نوری که از شیشه منشور می‌گذرد، به لحاظ بستگی ضریب شکست به طول موج و یا پاشندگی مواد ، به رنگهای تشکیل دهنده آن تجزیه می‌شود (تجزیه نور سفید). مثلا نور سفید به طیف وسیع هفت رنگ خود تجزیه می‌گردد. بنابراین در بحث منشورها از پاشندگی نور می‌گذریم و منشورهایی را بررسی می‌کنیم که پاشنده نیستند، یعنی ضریب شکست آنها بستگی طول موجی ندارد، منشورهایی که می‌توان از آنها در آرایش سطوح بازتابنده چندگانه استفاده کرد. مزیت منشور بر مجموعه چند آینه این است که منشورها پس از تعبیه شدن در سیستم ، سمتگیری طراحی شده را حفظ می‌کنند و نیازی به تنظیم در دستگاه نهایی را ندارند. به غیر از اینکه خود منشور به عنوان یک مجموعه کل تنظیم شده باشد.

ساختار کلی

• از آنجا که کلیه منشورها جهت بازتابیدگی به لایه‌های مواد فلزی و دی الکتریکها در سطح خود لازم ندارند، برعکس ، آینه‌ها وقتی مورد استفاده قرار می‌گیرند، کارآیی آنها تقریبا بدون اتلاف تابش است. و تنها اتلاف ناشی از ناخالصی و ناهمواریهای سطح منشور و بازتابشهای فرنل مربوط می‌شود که ناچیزند. آنچه مهم است تنظیم دائمی سطوح بازتابنده و بازتابش داخلی کلی است، استفاده از این منشورها در بیشتر دستگاههای نوری توصیه می‌شود.

• دو مانع عمده در کاربرد منشورها وجود دارد آنها هم هزینه و وزن آنهاست; اگر مساحت سطح مقطع ورودی و خروجی یک منشور خیلی بیشتر از 5 سانتیمتر مربع باشد، وزن آن قابل ملاحضه خواهد بود. همچنین هزینه ساخت و تولید یک تکه شیشه کلفت و صیقل دادن آن و تعبیه دقیق آن در جای مناسب قابل توجه خواهد بود، لذا در ابعاد سطح مقطعی بزرگتر از 5 سانتیمتر مربع استفاده از آینه‌ها امتیاز بیشتری دارد و یا اینکه با تقریبی از منشورهای پلاستیکی شفاف استفاده می‌کنند.
  
  
• در حالت کلی منشورهای باز تابش داخلی کلی و آینه‌های تخت به لحاظ کاربرد در سیستمهای مختلف با ملاحظه تمام پارامترهای طراحی دستگاه ، مکمل هم هستند.
  
  
• باید بخاطر بسپاریم که در دستگاههای نوری کل یک منشور ظاهر نمی‌شود بلکه بعد از تنظیم منشور آن قسمتی از منشور که عمل می‌کند و در مسیر پرتوی ردیابی شده قرار می‌گیرد را نگه می‌داریم و سایر قسمتهای اضافی را جهت کاهش وزن و حجم می‌بریم و از دستگاه نوری خارج می‌کنیم.

انواع منشورها و کاربردهای آنها

منشور قائم الزاویه

سطح مقطع این منشور ساده و از یک مثلث (درجه45 - 90 - 45) ساخته شده است. نوری که از یک وجه کوچک آن وارد می‌شود در وتر آن بازتابیده می‌شود و از وجه کوچک دیگر خارج می‌گردد، به شرطی که ضریب شکست منشور بزرگتر از مقدار 1.414 باشد یعنی (n₁ > 1.414) که نور باز تابش داخلی کلی خواهد کرد که این هم یک مزیت دیگر منشور بر آینه‌هاست.

منشور پنج وجهی

منشور پنج وجهی یک منشور انحراف ثابت است، بدین معنی که پرتوی ورودی را 90 منحرف می‌کند، بخاطر همین ویژگی به چنین منشوری گونیای اپتیکی می‌گویند. در تنظیم و طراحی سیستمهایی که دارای مسیرهای متقاطع پرتویی به اندازه 90 هستند، بسیار سودمند واقع می‌شوند. به سبب زاویه تابش کوچک نخستین بازتابش داخلی ، بازتابش داخلی کلی در اینجا صورت نمی‌گیرد. بنابراین سطوح بازتابنده یک منشور پنج وجهی باید با فیلمهای (پوششهای) بازتابنده پوشش یابند.

منشور پورو

این منشورها از ترکیب دو منشور راست گوشه بدست می‌آیند و در پیکر بندیهای انحراف ثابت 180 درجه مورد استفاده قرار می‌گیرند، در حالیکه هر دو منشور تولید معکوس می‌کنند، ترکیب آنها تولید وارونی می‌کند. این دو منشور ، مسیر یک سیستم اپتیکی را تا می‌کنند (سیستم را در ادامه فرآیند از مسیر نور خارج می‌کنند) و همچنین یک تصویر را به اندازه نصف طول وتر در هر دو جهت افقی و عمودی جابجا می‌کنند. از منشور پورو می‌توان برای کاهش طول یک تلسکوپ کپلری استفاده کرد و همزمان با آن یک وارونی دیگر که برای راست کردن تصویر وارون تلسکوپ ضرورت دارد، بدست آورد. به همین دلیل ، در بسیاری از دوربینها و سایر دستگاههای دو چشمی ، از این منشور استفاده می‌شود.

منشور دوه

نوری که به موازات قاعده یک منشور وارد آن می‌شود در درجه اول به قاعده منشور شکسته می‌شود، در آنجا بازتابش داخلی کلی می‌یابد. سپس در وجه مقابل می‌شکند تا دوباره به نوری موازی با قاعده تبدیل شود، از آنجا که قسمت رأس منشور اثری بر پرتوهای بازتابیده از سطح قاعده ندارد، معمولا حذف می‌شود (برش داده می‌شود). آنچه باقی می‌ماند یک منشور دوه نامیده می‌شود.

پیمایش پرتوهای نور در یک منشور دوه معادل عبور آنها از یک تیغه شیشه‌ای است. بنابراین در زاویه تابش غیر عمودی پاشیدگی روی نخواهد داد. اگر هم باشد داخلی است و در سطح دوم جمع می‌شود. یکی از سودمندترین خواص منشور دوه آن است که چرخش منشور حول محوری به موازات جهت انتشار نور در بیرون منشور ، منجر به چرخش تصویر معکوس به اندازه دو برابر زاویه چرخش منشور می‌شود. تعداد ترکیبهای منشوری دیگر خیلی زیاد هست و برخی از آنها برای دستگاه نوری خاصی طراحی شده است.

محاسبه ضریب شکست منشورها

ضریب شکست شیشه منشور به توسط رابطه زیر داده می‌شود:

n = sin(A - D_m)/2 / sin(A + D_m)/2

که در آن A زاویه رأس منشور بوده و D_m زاویه کمترین انحراف منشور است. زاویه کمترین انحراف منشور آنچنان زاویه‌ای است که با کوچکترین انحراف از آن زاویه ، منشور از حالت تنظیم خود خارج می‌شود و طیف منشور حذف می‌شود. به عبارتی در چنین زاویه‌ای ، منشور در آستانه تشکیل طیف نور تابشی است.

کنج

 کنج زیر مجموعه ای از فضاست که از اجتماع چند زاویه پدید می آید. چنان که آن زاویه ها راس مشترک دارند و هر یک از آنها در هر ضلع، با یک زاویه دیگر، و تنها با همان زاویه، ضلع مشترک دارد، و هیچ دو زاویه ای در کی صفحه واقع نیستند. راس مشترک زاویه ها، راس کنج؛ هر زاویه را یک زاویه کنج، ضلع مشترک هر دو زاویه مجاور، یال کنج، قسمتی از صفحه هر زاویه را که بین دو ضلع آن محصور است وجه، و فرجه بین هر دو وجه مجاور را یک فرجه کنج می نامند. کنج با تعداد وجه هایش مشخص می شود. ساده ترین کنجها، کنج سه وجهی است.

انواع کنج

کنج سه قائمه
کنج سه وجهی مستقیم
کنج کاو
کنج کوژ
کنج مستقیم
کنج قرینه

دایره

مقدمه

اشکال هندسی در زندگی همیشه دارای کاربردهای فراوان بوده و برای فعالیتهای انسان الهام بخش و سمبل نیز شده است. دایره یکی از این اشکال است. ابتدایی‌ترین کاربرد دایره ، چرخ و چرخ‌دنده‌ها هستند که از قدیم‌الایام بکار رفته و می‌روند. همچنین ابزار آلات زینتی چون تاج ، گردبند ، خلخال و حلقه‌ها ، کاربردی به اندازه تاریخ بشری دارند. نمونه مثال زدنی حلقه ازدواج است که بین زوجین مبادله می‌شود و این برگرفته از حلقه‌ای است که در دست اهورامزدا در پیکره‌ها و مجسمه‌ها دیده می‌شود.

با توجه به قرینه مذهبی قداست و پاکی ازدواج در ایران باستان را نشان می‌دهد که اکنون فرهنگی جهانی گشته است. دایره در فرهنگها ، انجمنها ، شهرسازی ، اندیشه‌های هنری و ریشه‌دار بخصوص در ابزار آلات نجومی جایگاه نمادین و کاربردی دارد. در فرهنگ و ادیان قدیم ازجمله بودا ، نماد آسمان ، جهان پاک ، افلاک گردنده و غیر دنیاست در حالی که در مقابل دنیا چهار گوشه و مربع است که به وضوح در بیان اشعار و ادبیات ایرانی بویژه غزلیات عرفانی مشاهده می‌شود.

دایره در هنرهای اسلامی ایران

در هنرهای اسلامی ایرانی دایره‌ها ، به شکل شمس و حلقه نورانی در اطراف سرائمه و بزرگان دین دیده می‌شود. همچنین با توجه به کراهت صورتگری و مجسمه سازی در اسلام و ظریف اندیشی شیعه ، هنرهای اسلامی به شکلهای اسلیمی ، گل و بوته ، نقشهایی ختایی سوق داده شد. اشکال و خطوط و ترکیب رنگ در مینیاتورها ، تذهیبها و فرشها با زینت و ترکیب و نقش نگار پخته‌تری تکامل یافتند.

دایره به شکل شمسه‌های زیبایی تزیین داده شد و شمسه‌ها به صورت منفرد یا در سایر هنرها کاربرد یافت. در خطوط گل و بوته و اشکال اسلیمی و ترکیب رنگ دایره به عنوان پایه‌ای‌ترین ، اصلی‌ترین و اساسی‌ترین شکل بکار گرفته می‌شود. و سیر کلی به سوی مرکز برای وصل فنا نقطه‌ای (سیاه) است. که اختیار را از چشمان بیننده گرفته و با سیر در تابلو به مرکز هدایت می‌کند.

دایره و نقطه سیاه و قرمز

در میان قبایل بدوی و بسیاری از انجمنها و دسته‌های سری قدیم ، سمبل مفاهیمی چون ابدیت ، جاودانگی و مرگ بوده است و دایره سیاره و دوایر متحدالمرکز در تمرینات اساسی ماینه‌تیستها ، هیپنوتیستها و درمانگران حرفه‌ای می‌باشد. دایره و نقطه سرخ که اغلب نشان آفتاب می‌باشد در پرچم و سمبل ملل شرق آسیا نیز مشاهده می‌شود.

هفت شهر

بطلیموس در دو قرن پیش از میلاد بر اساس تفاوت حرارت ، سرزمینهای شناخته شده آن روزگار را به هفت اقلیم تقسیم کرده است از آنجا که تقسیم بندی بطلیموس بر اساس دایره‌های مداری است اقلیمهای هفت گانه را اقلیمهای هندسی نیز نامیده‌اند. به نظر صاحبنظران ، اصطلاح هفت شهر ، هفت اقلیم و هفت وادی که در ادبیات و حکمت ایرانی وارد شده است الهامی از نظریات بطلیموسی را در خود دارد. اجرام آسمانی به دو دسته ثوابت و اجرام متحرک و متغیر تقسیم بندی شد و اجرام متغیر شناخته شده آن روز ، خورشید ، زمین ، بهرام ، تیر ، عطارد ، مشتری و زحل هر کدام در مداری و آسمانی تصور شدند. آسمان اول ، آسمان دوم ... تا هفت آسمان.

دایره و نجوم

کره زمین برای شناسایی بهتر به دایره‌های افقی به نام مدار از صفر استوا تا 90 درجه قطبین و دایره‌های عمودی به نام نصف‌النهار تقسیم بندی می‌شود. در علوم قدیم دایره بیشترین کاربرد و برترین جایگاه را در علم نجوم دارد. اولین مدلهای منظومه‌ای بر اساس گردش زهره در فرهنگ اینکاها ، گردش خورشید و کاینات دور کلیسا و زمین ، تا گردش زمین و سیارات دور خورشید در نجوم اسلامی و قوانین حاکم بر حرکت آنها بر روی مسیرهای دایروی بودند. مدلهای اتمی بعد از نظریه جوزف تامسون نیز هسته متمرکز در مرکز (بار مثبت) و الکترونهای متحرک در مدارهای دایروی بود. که به دلیل شباهت به مدل منظومه‌ای مشهور گشت.

بعدها تیکوبراهه ، کپلر ، کپرنیک روی این نظریه‌ها کار کردند. در سال 1619 کپلر سه قانون حرکت سیارات را با استفاده از مشاهدات تیکوبراهه بیان کرد. قوانین کپلر پایه و اساس قوانین نیوتن و مکانیک کلاسیک و مکانیک سماوی شد. در این نظریه مسیر دایره به مسیر بیضوی که خورشید در یک کانون بیضی قرار دارد تغییر یافت. با مطرح شدن فیزیک نوین و فیزیک کوانتومی ، اصل عدم قطعیت و سایر پیشرفتهای تکنولوژیکی مدل منظومه‌ای هسته نیز به مدل ابر الکترونی تبدیل گشت.

نگاهی به رصدخانه مراغه

این رصدخانه در زمره پیشگامان نجوم ایران و دنیای قدیم بوده و جایگاه بی‌نظیری برای خود دارد. مهمترین دوره و مکتب نجومی ایران مکتب مراغه بود که به گفته پروفسور عبدالسلام رصدخانه‌های هنر با وجود رگه‌های هنری اساسا بر پایه رصدخانه‌های اسلامی ساخته شده است. در این میان مکتب مراغه با نام خواجه نصیر‌الدین طوسی با سمت گیری انتقادی نسبت به نظام بطلیموسی به دلیل مشکلات جدی و ناسازگاریهای ذاتی موجود اخترشناسان بر اساس مدل هندسی نجومی ارائه شد که به جفت طوسی معروف گشت. ایجاد حرکت خطی به کمک حرکتهای دورانی یکنواخت است. ساختمان اصلی این رصدخانه به شکل استوانه طراحی شده بود. اکثر وسیله‌های رصدی در آن شکل دایروی داشتند از مهمترین وسیله‌های رصدخانه مراغه می‌توان به موارد زیر اشاره کرد.

وسایل رصد خانه مراغه

سدس فخری که بعدها با اصلاح به دوربینهای تئودولیت معروف گشتند که کاربردهای نقشه برداری دارد. وسیله دیگر ربع بود. این آلت از ربع دایره و عضاده‌ای تشکیل یافته و با آن میل کلی و ابعاد کواکب و عرض بلد را رصد می‌نمودند و بر سطح دیواره شمالی و جنوبی رصدخانه نصب شده بود. وسیله دیگر ذات‌الحلق بود که که به جای ششگانه بطلیموس و نه حلقه ثاون اسکندرانی جامع‌تر بوده است.

آلتی است متشکل از پنج حلقه به ترتیب الف برای دایره نصف النهار که بر زمین نصب شده بود. ب برای دایره معدل النهار ج برای دایره منطقه‌البروج د برای دایره عرض و ه برای دایره میل. از آلات دیگر رصدخانه مراغه ذات‌الجیب و ذات‌السمت بودند که برای تعیین ارتفاع در کلیه جهات مختلف افق بکار رفته می‌شد. ذات‌الربعین که به جای ذات‌الحلق استعمال می‌شد. ذات‌الارسطوانتین و دایره شمسیه از وسایل دیگر رصد خانه هستند.

نگاهی به استفاده از دایره برای رفع مشکلات شهرها و شهرسازی

توسعه شهرها ، تامین نیازمندیهای آنان ، چاره‌جویی برای توسعه‌های آینده شهر ، اتخاذ تصمیماتی که بتواند مشکلات شهری را به حداقل برساند و بالاخره آنکه چگونه رابطه منطقی بین انسان با محیط طبیعتش حفظ شود، به تحولاتی در امر شهرسازی منجر شد. نخستین نظریه در زمینه شهرسازی شخصی به نام هیپوداموس (480 سال قبل از میلاد) بود و بعد از آن نظریات و راهکارهای متفاوت شهرسازی بوجود آمد. ولی پیدایش دانش امروزی شهرسازی به قرن نوزده میلادی می‌رسد. از میان نظریه‌های شهرسازی می‌توان نظریه‌های زیر را نام برد.

نظریه متحدالمرکز

در این نظریه الگوی ساخت شهر بر این اصل استوار است که توسعه شهر از ناحیه مرکزی به طرف خارج شهر صورت گرفته و تعداد مناطق متحدالمرکز را تشکیل می‌دهد. این مناطق با ناحیه مشاغل مرکزی شروع شده و بوسیله منطقه در حال تحول احاطه می‌شود.

نظریه قطاعی

تعدیل و تغییر در جهات مختلف این نظریه است. شهرها برای همیشه نمی‌توانند حالت متحدالمرکزی مناطق را حفظ کنند. در این نظریه اجازه خانه به عنوان راهنما مطالعه شهر را عملی می‌سازد. ساخت واحدهای گرانقیمت از کانون اصلی در طول شبکه‌های رفت و آمد ، ساخت واحدهای مسکونی دیگر و ارزان‌تر به سوی فضاهای باز و جابجایی ساختمانهای اداری و تجاری ، توسعه واحدهای مسکونی گرانقیمت را در جهت عمومی عملی سازد. آپارتمانهای لوکس در مجاورت بخشهای تجاری و مسکونی قدیمی بوجود آمده و واحدهای گرانقیمت شهر بطور اتفاقی و نامنظم جابجا نمی‌شوند. راههای شعاعی از مرکز شهر به اطراف کشیده می‌شود و عامل دسترسی به این راهها و قیمت زمینها را در مناطق مختلف شهر تعیین می‌کند.

مدل حلقه‌ای

در این مدل به جای آنکه خطوط اصلی حمل و نقل به صورت خطی گسترش یابد به شکل دایره‌ای و به موازات مرکز شهر ، حواشی ناحیه مرکزی و بافتهای اطراف آن را احاطه می‌کند. و دور تا دور بافت را گره‌های شهری بوجود می‌آورد. و فعالیتها شکل حلقه‌ای یا زنجیره‌ای به خود می‌گیرند.

طرح مکمل مدل کهکشان

بر اساس نظریه ویکتورگروئن در بیشتر شهرهای بزرگ کاربرد دارد. شهر از مراکز متعددی تشکیل یافته و هر کدام واحدهای دیگری را بوجود می‌آورد و بوسیله شبکه‌های ارتباطی مشترک و مستقل و منطقه‌ای بافتها به همدیگر مرتبط می‌شوند. مجموعه این بافتها و شبکه‌ها یک شبکه کهکشانی را بوجود می‌آورد. خدمات مرکزی در وسط بافت و جایگاه صنایع در نواحی اطراف شهر و در خارج از بافت اصلی پیش‌بینی شده است.

دایره در مثلثات و فیزیک

از دایره‌های مشهور دیگر دایره مثلثاتی است. دایره مثلثاتی دایره‌ای است با درجه‌بندی و جهت حرکت مشخص که به آن جهت مثلثاتی گویند و آن پادساعت گرد یا عکس ساعت گرد است. شعاع این دایره واحد است و حداکثر مقدار توابع مثلثاتی سینوس یا کوسینوس که در این دایره بدست می‌آید می‌تواند واحد شود. هارمونیها و هماهنگها ، چرخش ، حرکت دورانی ، حرکات پریودیک و دوره‌ای ، حرکات تناوبی ، حرکات رفت و برگشتی در یک مسیر مشخص را می‌توان توسط این دایره و کمیات مثلثاتی برای بیان مکان و زمان و توصیف این حرکات و موقعیت بکار برد.

دایره در ورزشهای باستانی و موسیقی

دایره با توجه به نماد آسمانی و قداست افلاکی در ورزشهای باستانی از جمله زورخانه و گوی بازی ورزشکاران باستانی کار ، در رقص سماء و حلقه گردش و لباس و کلاه آنها ، نیز کاربرد دارد. در مکاتب هادی همچون کومونیسم نیز همچنان که در فیلم بایکوت مشاهده می‌کنیم. به عنوان سمبل بکار رفته است مسیری که از هیچ آغاز شده و در سیر مسیر به هیچ منتهی می‌شود.

اساس موسیقی و هنرهای ادبی شرقی موسیقی دوری است. موسیقی و هنری که انسان را در جای خود از حالی به حالی دگرگون می‌کند از نقطه‌ای شروع شده و او را به سیر در عالم معانی برده و در آخر انسانی ارزشی ، تحول یافته و والا‌مقام و انسانی که شایسته خلیفه الهی است بوجود می‌آورد.  

بیضی

بیضی مجموعه نقاطی از صفحه است که مجموع فواصل هر یک از آنها از دو نقطه ثابت واقع در صفحه مقدار ثابتی می باشد.

---

معادله بیضی

اگر دو نقطه ثابت به نام کانون ها، نقاط و باشند و مجموع فاصله ها، ، با نمایش داده شود، آنگاه مختصات نقطه ای چون واقع بر بیضی در معادله زیر صدق می کند :

برای ساده کردن این معادله، رادیکال دوم را به سمت راست معادله برده، رابطه حاصل را به توان دو می رسانیم و پس از ساده کردن داریم :

چون مجموع دو ضلع مثلث یعنی ، از ضلع سوم یعنی بزرگتر است، عبارت در مثبت است و ریشه دوم حقیقی مثبت دارد که با نمایش داده می شود، پس بصورت فشرده تر زیر در می آ ید :

معادله نشان می دهد که این خم نسبت به هر دو محور متقارن است و داخل مستطیلی با اضلاع ، ، و قرار دارد. نقاط تقاطع این خم با محورها عبارتند از : و . خم هر یک از محورها را با زاویه قطع می کند زیرا شیب در ، برابر با صفر و در ، برابر با بی نهایت است.
نشان داده ایم که مختصات در صدق می کنند هرگاه در شرط هندسی صدق کند. حال عکس این مطلب را ثابت می کنیم. فرض کنیم در با شرط صدق کند آنگاه :

اگر این مقدار را در رادیکال های زیر قرار دهیم داریم :

چون به بازه محدود می شود، مقدار بین قرار می گیرد و لذا هم مثبت است و هم ،چرا که هر دو بین هستند پس قدرمطلق های موجود در روابط فوق را می توان حذف کرد لذا :

با جمع کردن این دو می بینیم که مقدار به ازای هر موضع روی خم، برابر با است. پس ویژگی هندسی و معادله جبری فوق هم ارزند.

---

محورها

در معادله ، از کمتر است. قطر بزرگ بیضی پاره خط به طول بین نقاط تقاطع بیضی با محور ، ،است. قطر کوچک آن پاره خط به طول بین نقاط تقاطع بیضی با محور ، ، است. عدد را نصف طول قطر بزگ و عدد را نصف طول قطر کوچک می نامند.

---

معادلات متعارف بیضی هایی که مرکزشان است و اقطارشان با محورهای مختصات موازی اند

الف.

قطر بزرگ : افقی
کانون ها :
راس ها :
ب.

قطر بزرگ : قائم
کانون ها :
راس ها :
در هر حالت نصف قطر بزرگ و نصف قطر کوچک است.

---

خروج از مرکز

فرض کنیم معادله یک بیضی بصورت زیر داده شده باشد :

هر چند ، فاصله مرکز بیضی با هر یک از کانون ها، در این معاده به چشم نمی خورد ولی را می توان از معادله زیر به دست آورد :

اگر را ثابت نگه داریم و فاصله کانونی را در بازه تغییر دهیم،شکل بیضی های حاصل تغییر خواهد کرد. وقتی (یعنی ) این بیضی ها مستدیر هستند و وقتی به مقدار افزوده شود، بیضی کشیده تر می شود، تا اینکه در حالت نهایی () بیضی به صورت پاره خط در می آید که دو کانون را به هم می پیوندد.
نسبت را خروج از مرکز بیضی می نامند. این عدد از صفر تا یک تغییر می کند و میزان اختلاف شکل بیضی با دایره را نشان می دهد.

---

سهمی

خاصیت اساسی معادله سهمی

خاصیت اساسی معادله سهمی این است که نسبت به یکی از متغیرها خطی و نسبت دیگری از درجه دوم است. هر وقت که چنین معادله‌ای داشتیم می‌توانیم به کمک تکمیل کردن مربع متغیری که از درجه دوم است. معادله عبارت خطی را به یکی از صورتهای بنویسیم. اکنون می‌توان همه اطلاعات راجع به رأس و فاصله کانون تا رأس و محور تقارن و جهت باز شدن منحنی را از معادله آن بدست آورد.

کاربردها

در مورد نور افکن‌های سهمیوار هر پرتو نوری که از کانون بگذرد، پس از برخورد با نور افکن به موازات محور آن منعکس می‌شود، و یا هر شعاع نوری که موازی محور بتابد بعد از انعکاس در نور افکن بر کانون می‌گذرد. از این خاصیت در آینه‌های سهمیوار دوربین‌های نجومی و آنتنهای سهمیوار رادارها استفاده می‌شود.

هذلولی

تعریف

هذلولی مجموعه نقاطی از صفحه است که تفاضل فواصل هر یک از آن ها از دو نقطه ی ثابت در صفحه مقدار ثابتی باشد.

کاربرد

مسیر های هذلولوی در نظریه نسبیت اینشتین مطرح می شوند و اساس سیستم هوانوردی رادیویی لوران LORAN: Long Range Navigation - - نیز هستند. مسیر ستاره ی دنباله داری که به خورشید خودش بر نمی گردد، هذلولوی است ( احتمال اینکه سهموی باشد صفر است ).
تلسکوپ های بازتابنده نظیر تلسکوپ 200 اینچی هاله 2 ، واقع در کوه پالومار کالیفرنیا، و تلسکوپ فضایی ناسا که قرار بوده در 1988 به فضا پرتاب شود، از آینه های هذلولوی کوچک، همراه با آینه های سهموی بزرگتر استفاده می کنند.

---

معادله ی هذلولی

با در نظر گرفتن دو نقطه ی ثابت و موسوم به کانون ها و مقدار ثابت ، آن گاه نقطه ای چون بر هذلولی واقع است اگر و تنها اگر:

یا

معادله ی دوم نظیر معادله ی اول می باشد، با این تفاوت که به جای ، قرار گرفته است. لذا می توان در اولی نوشت ، پس:

در این جا منفی است زیرا تفاضل دو ضلع مثلث از ضلع سوم کوچکتر است یعنی . لذا مثبت است و یک ریشه ی دوم حقیقی مثبت دارد که آن را با نمایش می دهند، پس:
بنابر این معادله ی هذلولی به صورت زیر خواهد بود:

که شبیه معادله ی بیضی است. اختلاف آن ها تنها در علامت منفی موجود در معادله ی هذلولی و رابطه ی جدید بین ، و است.

نکته 1: هذلولی نسبت به هر دو محور و نسبت به مبدا متقارن است و با محور تقاطعی ندارد. در واقع هیچ بخشی از خم بین خطوط و قرار نمی گیرد.

نکته 2: فاصله های و از روابط زیر به دست می آیند:

در این جا از بزرگتر است و یا در سمت راست خط قرار می گیرد (یعنی)، یا در سمت چپ خط ( یعنی).

نکته 3 : وقتی در سمت راست خط قرار داشته باشد رابطه ی و اگر در سمت چپ واقع باشد رابطه ی برقرار است.

---

مجانب ها

تعریف: اگر هم زمان با دور شدن نقطه ای چون ( واقع بر یک خم ) از مبدا مختصات، فاصله ی آن با خط ثابتی به سمت صفر میل کند، آن گاه چنین خطی را مجانب خم نامند.

هذلولی دو مجانب دارد که عبارت اند از خط های .
چرا که عبارت سمت چپ معادله ی هذلولی را می توان تجزیه کرد و معادله را به صورت:

یا

نوشت.

الف) تحلیل معادله ی نشان می دهد که یکی از شاخه های خم در ربع اول قرار داشته و تا بی نهایت امتداد دارد. اگر نقطه ی واقع بر این شاخه رفته رفته از مبدا دور شود، و بی نهایت می شوند و عبارت سمت راست معادله ی به صفر نزدیک می شود. پس طرف چپ هم باید همین وضع را پیدا کند. در نتیجه:

ب) وقتی ، مشاهده می شود که:

چون فاصله ی قائم بین خط و هذلولی وقتی ، به صفر میل می کند، فاصله ی عمودی بین نقاط هذلولی و خط نیز به صفر میل می کند. بنابراین از بندهای (الف) و (ب) نتیجه می شود که خط مجانب هذلولی است.
بنابر تقارن، خط نیز مجانب این هذلولی است.

نکته: گاه مجانب را چنان تعریف می کنند که لازم است وقتی ، شیب خم به شیب مجانب نزدیک می شود. این تعریف نیز در این جا صادق است چرا که:

و این همان شیب مجانب است.

---

معادلات متعارف هذلولی هایی که محورهایشان با محورهای مختصات موازی اند و مرکزشان در (h,k) واقع است:

الف) اگر خط گذرنده از کانون ها موازی با محور باشد:

معادله ی هذلولی:

راس ها:

کانون ها:

مجانب ها:

ب) اگر خط گذرنده از کانون ها موازی با محور باشد:

معادله ی هذلولی:

راس ها:

کانون ها:

مجانب ها:

ج) معادلات دو بند فوق را می توان با انتقال و و توجه به این مطلب که معادلات حاصل بر حسب مختصات پریم دار به صورت زیراند به دست آورد:

توجه کنید که در معادله ی مجانب مربوط به بند (I)، بر و در معادله ی مجانب مربوط به بند (II) بر تقسیم می شود.

بردار

کلمه بردار به معنای حمل کننده میباشد و از یک کلمه لاتین به همین معنا گرفته شده است.یک بردار به عنوان یک عنصر از فضای برداری تعریف میشودو در فضای nبعدی دارای n مولفه است.پس بدیهی است که یک بردار در صفحه دارای دو مولفه میباشدو یا در فضای سه بعدی سه مولفه را اختیار میکند.بردارها در علوم مختلف مانند فیزیک کاربردهای فراوانی دارند و بدون آنها نمیتوان بسیاری از مولفه های فیزیکی مانند سرعت ، شتاب و... را تفسیر و تعریف نمود.

خصوصیات بردارها

بردارها را میتوان با یکدیگر جمع (جمع بردارها) و یا ضرب (ضرب بردارها) کرد.البته ضرب دو بردار با ضرب یک اسکالردر آن فرق میکند.ضرب بردارها سه نوع است که عبارتنداز ضرب داخلی ، ضرب خارجی و ضرب مستقیم تانسوری که حاصل همه این ضربها لزوما یک بردار نیست.
هر بردار دارای دو مولفه است که این دو مولفه عبارتند از طول بردار و جهت بردار.همچنین هر بردار دارای یک ابتدا و یک انتها نیز هست. برداری که دارای طول واحد باشدبردارواحد مینامند و برداری که طول آن صفر است را بردارصفر مینامند.

ضرب داخلی

در ریاضیات فضای ضرب داخلی یک فضای برداری است. ضرب داخلی یا ضرب اسکالر به ما این امکان را میدهد که مفاهیم هندسی از قبیل زاویه و طول یک بردار را تعریف نماییم.با وجود آنکه در این نوع ضرب دو بردار در هم ضرب میشوند ولی حاصلضرب این دو بردار یک عدد اسکالر است.ضرب داخلی در ریاضیات،مهندسی،وفیزیک کاربردمای فراوانی دارد

تعریف

ضرب داخلی دو بردار uوvرا با نشان میدهند. ضرب داخلی در یک فضای برداری حقیقی از چهار ویژگی مهم تبعیت میکند.فرض کنید u،vوهمچنین w سه بردار ویک اسکالر باشدآنگاه:

1.

2.

3.

4. و برابر صفر است هرگاه v=0 باشد.

تعاریف زیر را برای ضرب داخلی ذکر میکنیم:
1. در حوزه اعداد حقیقی به صورت زیر بدست میآید:



2.در فضای n-بعدی حاصلضرب داخلی از رابطه زیر بدست میآید:



به عنوان مثال در فضای دو بعدی میتوان ضرب داخلی دو بردار را از رابطه زیر محاسبه کرد:

نرم در فضای ضرب داخلی

در فضای ضرب داخلی نرم یک بردار به صورت زیر تعریف میشود:



در واقع بوسیله نرم یک بردار میتوان طول آن بردار رابدست آورد.

نامساوی کوشی-شوارتز

البته دقت کنید که دو برداری که در این نامساوی صدق میکنند باید وابسته خطی باشند.

محاسبه زاویه بین دو بردار

پس از مطالعه این مطالب شاید از خود بپرسید که این روابط دارای چه فوایدی هستند و چه لزومی دارد که این روابط را بدانیم؟
فرض کنید دو بردارداریم که مختصات آنها معلوم است،حال میخواهیم زاویه بین این دو بردار را بدست آوریم برای این کار از فرمول زیر استفاده میکنیم:



باید توجه کرداین فرمول زاویه بین دو بردار را در فضای دو بعدی محاسبه میکند.

ضرب خارجی

ضرب خارجی که به آن ضرب برداری نیز گفته میشود،یک عمل دوتایی در یک فضای سه بعدی است که بر روی دو بردار اعمال میشود.حاصل این عمل برداری است که بر دو بردار مذکور عمود است.جهت این بردار از طریق قانون دست راست بدست می آید.

تعریف

دو بردار AوB را در نظر میگیریم و زاویه بین این دو بردار را فرض میکنیم در این صورت ضرب خارجی این دو بردار به صورت زیر تعریف میشود:



فرض کنیم دو بردار مذکور بر حسب بردارهای واحد i و j و k و به صورت زیر تعریف شده باشند:




در این صورت ضرب خارجی دو بردار ( بدون نیاز به داشتن زاویه بین آنها) به صورت زیر تعریف میشود:

خصوصیات

خصوصیات هندسی

حجم متوازی السطوحی که روی سه بردار ساخته شده است از ضرب سه گانه این سه بردار حاصل میشود.

اندازه ضرب خارجی برابر مساحت یک متوازی الاضلاعی است که بر روی دو ضلع a و b ساخته شده است. یعنی داریم:


همچنین حجم یک متوازی السطوح که بوسیله بردارهای a و b و c ایجاد شده است برابر ضرب سه گانه زیر میباشد:

ویژگیهای جبری

• ضرب خارجی دو بردار خاصیت جابجایی ندارد:

• ضرب خارجی دو بردار خاصیت توزیع پذیری نسبت به عمل جمع دارد:

• ضرب یک عدد اسکالردارای خصوصیت زیر خواهد بود :

• این ضرب شرکت پذیر نیست. ولی در اتحاد ژاکوبی صدق میکند:

تبدیلات هندسی

دراین بخش نشان خواهیم داد که چگونه می توان با استفاده از هندسه اعداد مختلط،‌ مسائل مربوط به تبدیلات هندسی را حل کرد.

مثلث

• 
  
  مثلث ار اساسی ترین اشکال در هندسه میباشد.یک مثلث دارای سه راس است که سه ضلع این رئوس را به هم وصل میکند.در هندسه اقلیدسی این اضلاع خطوطی مستقیم هستند. ولی در هندسه کروی این اضلاع کمان هایی از دایره عظیمه میباشند.این دو نوع مثلث را میتوانید در شکلهای روبرو مشاهده نمایید.
  
  

انواع مثلث

• مثلث متساوی الاضلاع: مثلثی است که دارای سه ضلع با طولهای مساوی است و زوایای داخلی این مثلث نیز با هم برابرند.
• مثلث متساوی الساقین: مثلثی است که دارای دو ضلع با طولهای مساوی استو دو زاویه داخلی برابر دارد.

البته مثلث میتواند دارای سه ضلع با طولهای مختلف و زوایای غیر مساوی باشد.

• مثلث قائم الزاویه: مثلثی را گویند که یکی از زوایای آن 90درجه باشد.نسبت های مثلثاتی مانند sin و cos ،بر روی مثلث قائم الزاویه تعریف میشوند.
• مثلث منفرجه: مثلثی را گویند که یکی از زوایای داخلی آن بیشتر از 90 درجه باشد.
• مثلث حاده : مثلثی را گویند که تمام زوایای داخلی آن کمتر از 90 درجه باشد.

300 سال قبل از میلاد اقلیدس ،اصول اولیه درباره مثلث را ارائه داد.به عنوان مثال یکی از اصول مهم در مورد مثلث این است که مجموع زوایای داخلی یک مثلث برابر 180 درجه است. بر اساس این اصل میتوان با معلوم بودن دو زاویه از مثلث اندازه زاویه سوم را بدست آورد.
یکی از مهمترین قضایای موجود در مثلثات قضیه فیثاغورث میباشد.در این قضیه رابطه بین وتر و اضلاع قائم یک مثلث قائم الزاویه بیان میشود.

محاسبه مساحت مثلث

برای محاسبه مساحت یک مثلث روشهای مختلفی وجود داردو در ادامه به توضیح این روشها میپردازیم

روش هندسی

برای محاسبه مساحت یک مثلث باید طول ارتفاع مثلث و نیز طول قاعده(ضلعی که ارتفاع بر آن عمود است) آن را داشته باشیم.آنگاه میتوانیم از فرمول زیر استفاده کنیم:

در این فرمول b طول قاعده و h طول ارتفاع مثلث میباشد. در شکل زیر نحوه بدست آمدن این فرمول بیان شده است:

تبدیل مثلث به یک متوازی الاضلاع که دو برابر مثلث مساحت دارد وسپس تبدیل متوازی الضلاع به یک مستطیل

برای پیدا کردن مساحت مثلث (قسمت سبز) ابتدا یک کپی از مثلث (قسمت آبی) را برداشته و آن را 180 درجه میچرخانیم و به مثلث اولیه متصل میکنیم تا یک متوازی الاضلاع بدست آید. با بریدن قسمتی از متوازی الاضلاع و متصل کردن آن به ضلع دیگر آن(همانند شکل) یک مستطیل ایجاد میشود. چون مساحت مستطیل برابر bh است .پس مساحت مثلث اولیه، نصف این مساحت خواهد بود.

---

روش برداری

محاسبه مساحت متوازی الاضلاع با استفاده
از ضرب خارجی دو بردار

مساحت یک متوازی الاضلاع را میتوان با استفاده از بردارها محاسبه کرد.اگر AB,AC را مطابق شکل فرض کنیم آنگاه مساحت ABCD برابر |AB × AC| خواهد بود.این مفدار ،اندازه ضرب خارجی دو بردار AB و AC میباشد.پس مساحت مثلث ABC برابر با نصف اندازه ضرب خارجی دو بردار AB و AC خواهد شد.

روش مثلثاتی

استفاده از مثلثات
برای پیدا کردن ارتفاع مثلث

ارتفاع یک مثلث را میتوان با استفاده از روابط مثلثاتی بدست آورد.به عنوان مثال در شکل روبرو ارتفاع مثلث از فرمول محاسبه میشود.اگر این فرمول را درفرمول جایگذاری کنیم فرمول بدست می آید:

روش مختصاتی

فرض میکنیم نقطه A به مختصات (0, 0)یک راس از مثلث باشد و نقاط B به مختصات(x₁, y₁) و C به مختصات(x₂, y₂) دو راس دیگر مثلث باشند.در این صورت مساحت مثلث نصف مقدار|x₁y₂ − x₂y₁| خواهد شد.

فرمول heron

راه دیگر محاسبه مساحت مثلث استفاده از فرمول heron است. این فرمول به صورت زیر است:

تابع مثلثاتی

مثلثات مطالعه اندازه گیری زاویه است. اما این سخن به معنی اندازه گیری مقدماتی زاویه در هندسه نیست که در آن مقدار زاویه مورد نظر هر یک نقاله خوانده می شود بلکه محاسبه با توابع خاصی است که بستگی به زوایا دارند و به علت کابردشان در مثلثات، توابع مثلثاتی نامیده می شوند.

تعریف روی مثلث قائم الزاویه

برای تعریف توابع مثلثاتی از یک مثلث قائم الزاویه استفاده می کنیم به عنوان مثال می خواهیم این توابع را برای زاویه A در شکل روبرو تعریف کنیم
ما برای استفاده از این مثلث نامگذاری زیر را انجام می دهیم.
وتر ضلعی است که روبروی زاویه قائم قرار دار که بلندترین ضلع مثلث نیز می باشد و آن را با h نشان داده شده است.
ضلع مقابل زاویه A که آن را با a نشان می دهیم.
ضلع مجاور زاویه قائمه که درشکل با b نشان داده شده است.
حال توابع مثلثاتی را برای زاویه A روی مثلث ABC تعریف می کنیم.

• sin: نسبت ضلع مقابل به وتر را سینوس می گویند یعنی:

• cos: نسبت ضلع مجاور به وتر را گویند یعنی داریم:

• tangent: نسبت ضلع مقابل زاویه به ضلع مجاور را گویند.

• cosecant: نسبت وتر به ضلع مقابل زاویه را گویند.

• secant: نسبت وتر به ضلع مجاور است

• cotangent: نسبت ضلع مجاور به ضلع مقابل را گویند.

تعریف روی دایره واحد

در یک صفحه دستگاه مختصات دکارتی، زاویه می تواند هر چهار ربع را طی کند، و مقدار آن می تواند به حسب درجه، گراد رادیان اندازه گیری شود.
ضلع متروک این زاویه، دایره با شعاع و مرکز در مبدا، دایره موسوم به دایره واحد یا یک را در نقطه قطع می کند.
زاویه در تقاطع محور ها با دایره، مقدار صفر را اختیار می کند این زاویه، طی یک دوران کامل ضلع متحرکش حول مبدا از صفحه شروع و پس از رسیدن به مکان اولیه، دارای زاویه 360 درجه می باشد.
روابط مثلثاتی که برای زوایای مختلف برقرار است. برای زوایای بزرگتر از 360 نیز، بر قرار می باشد. مثلا برای دو تابع سینوس و کسینوس خواهیم داشت: