انتگرال نامعین

اگر پاد مشتق باشد ، آنگاه به ازای هر مقدار ثابت یک پاد مشتق است.زیرا اگر آنگاه:

نکته

اگر جوابی برای باشد ، فرمول همه جوابها را به دست می‌دهد.

انتگرال نامعین

مجموعه همه پاد مشتق‌های یک تابع چون را انتگرال نامعین نسبت به می‌نامند و با نشان می‌دهند.
هرگاه فرمول همه پادمشتق‌های را به دست دهد، آنرا چنین مشخص می‌کنیم :

تابع را انتگرال ده انتگرال و را ثابت انتگرال‌گیری می‌نامیم. همچنین نشان می‌دهد که متغیر انتگرال‌گیری است.

خواص انتگرال

  1. انتگرال مشتق یک تابع مشتق‌پذیر برابر است با به علاوه یک ثابت دلخواه.
  2. یک ثابت را می‌توان از زیر نماد انتگرال‌گیری بیرون آورد.(توجه شود که عباراتی را که توابعی از متغیر انتگرال‌گیری اند ، نمی‌توان از زیر نماد انتگرال‌گیری بیرون آورد.)
  3. انتگرال مجموع دو تابع برابر مجموع انتگرال‌های آنهاست.این مطلب را میتوان به مجموع هر تعداد متناهی از توابع تعمیم داد.

فرمول های انتگرال گیری



,

,

,

,





در این دستور‌ها یا متغیر مستقل است و یا تابعی مشتق‌پذیر از متغیر مستقل دیگری است.
اگر آنگاه

انتخاب مقدار ثابت انتگرال‌گیری

در حل یک معادله دیفرانسیل مانند معمولا به دنبال جواب خاصی هستیم که شرایط عددی از پیش تعیین شده را برآورده سازد.بدین منظور نخست جواب عمومی را تعیین می‌کنیم که همه جوابهای ممکن را به دست می‌دهد . سپس مقداری از را تعیین می‌کنیم که جواب خاص مطلوب را به دست دهد.
اگر نقطه‌ای چون از دامنه را در نظر بگیریم و مقدار دلخواه را برگزینیم ، می‌توان با قرار دادن و در معادله و حل آن نسبت به جوابی را یافت که از نقطه بگذرد.به این ترتیب داریم یا .
خم خمی است که از می‌گذرد.

انتگرال‌گیری به کمک تغییر متغیر

در حل انتگرال‌ها با روش تغییر متغیر ، به جای تابع پیوسته و مشتق پذیر را قرار می دهیم، یعنی :

بعد از حل ، بر اساس تابع معکوس ، به جای نسبت به قرار می‌دهیم . یعنی:
از فرمول فوق به صورت زیر هم می‌توان استفاده کرد:

انتگرال‌گیری به روش جزء به جزء

دستور موسوم به انتگرال‌گیری به روش جزء به جزء است که در آن توابعی مشتق‌پذیر از هستند. اگر انتگرال به صورت حاصلضرب یک تابع لگاریتمی یا یک تابع معکوس مثلثاتی ، در یک چند جمله ای باشد، در این صورت معمولا را تابع لگاریتمی یا تابع معکوس مثلثاتی انتخاب می‌کنند ولی اگر انتگرال حاصلضرب یک تابع لگاریتمی یا یک تابع نمایی در یک تابع جبری باشد ، معمولا تابع جبری را فرض می‌کنند.