اگر: یک مجموعه ناتهی باشد , یک عمل دوتایی روی مجموعه : تابعی مانند :است ، بطوریکه: لازم به ذکر است که


به اختصار عمل دوتایی * را که روی اثر کند، را با نمایش می‌دهیم.یعنی به جای نوشتن می‌نویسیم .اگر عمل دوتایی ، جمعی باشد ، از استفاده می‌کنیم.

  • هر عمل دوتایی به هر عضو عنصر یکتایی از را نسبت می‌دهد.
  • حاصل ترکیب دو عضو تحت یک عمل دوتایی باید متعلق به باشد.
  • عمل دوتایی را که سبب ترکیب هر دو عضو مجموعه ناتهی می‌شود، معمولا با * یا نمایش میدهیم.

مثال

  • مجموعه اعداد صحیح را در نظر بگیرید ، را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

به آسانی دیده می‌شود * یک عمل دوتایی است
  • مجموعه اعداد طبیعی را در نظر بگیرید. * با ضابطه زیر ، یک عمل دوتایی است:

اما عمل فوق در و عمل دوتایی نمی‌باشد.(چرا؟)
ولی در عمل * فوق ، یک عمل دوتایی است.
  • عمل * را در به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

عمل * در یک عمل دوتایی نیست . چرا که به ازای جواب بی‌نهایت می‌شود که متعلق به نیست.همچنین است درباره .

ویژگی‌های ممکن برای عمل دوتایی


بسته بودن

اگر یک مجموعه ناتهی و * یک عمل دوتایی تعریف شده روی باشد و . در صورتیکه به ازای هر شرط برقرار باشد گوییم تحت عمل * بسته است.( بدیهی است که اگر عناصر دلخواهی از باشند ، لزومی ندارد که باشد.)
مثال:
  • مجموعه های تحت عمل جمع بسته می‌باشند.
  • مجموعه های تحت عمل تقسیم بسته نیستند.
نکته:
اگر * یک عمل دوتایی روی مجموعه ناتهی باشد ، می‌نویسیم و می‌خوانیم تحت عمل دوتایی *.

خاصیت شرکت پذیری

شرکت پذیر است هرگاه داشته باشیم:

مثال:
  • در عمل * را به صورت زیر بیان میکنیم:

تحت عمل * شرکت پذیر است.
  • روی مجموعه عمل * را به صورت زیر بیان میکنیم :

عمل * روی خاصیت شرکت پذیری دارد.
  • عمل تفاضل در خاصیت شرکت پذیری ندارد.

نیم‌گروه

مجموعه یک نیم‌گروه است ، هرگاه تحت * بسته و شرکت پذیر باشد.
مثال:
1 . تحت جمع نیم‌گروه است.
2 . تحت تفاضل نیم‌گروه نیست.
3 . هرگاه مجموعه توابع پیوسته به روی باشد ، آنگاه تحت عمل جمع ، یک نیم‌گروه است.
4 . مجموعه توابع تعریف شده روی تحت عمل ترکیب توابع ، یک نیم‌گروه است.

خاصیت جابجایی

مجموعه واجد خاصیت جابجایی است ، هرگاه:

مثال:
اگر مجموعه بردارها باشد و به معنی ضرب داخلی باشد ، آنگاه دارای خاصیت جابجایی است. اما که در آن به معنی ضرب خارجی است، دارای خاصیت جابجایی نیست.

عضو خنثی

فرض می‌کنیم تعریف شده باشد .در صورتی‌که عضوی مانند یافت شود ، به طوری‌که برای هر داشته باشیم:

آنگاه را عضو خنثی می‌نامیم.

عضو وارون

اگر تعریف شده باشد ، و عنصر خنثی تحت * باشد ، برای هر عنصر را وارون می نامیم هرگاه: